Question

已知函数f（x）=x³-，a∈R．
（Ⅰ）当a=2时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）是否存在实数a∈（0，2]，使得对任意的x∈[0，a]，不等式0≤f（x）≤a恒成立？若存在，求出所有a的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（I）将a=2代入，求出函数的导函数，根据二次函数的图象和性质求出f′（x）＞0时和f′（x）＜0时的x的取值范围，进而得到f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求出函数的导函数，根据二次函数的图象和性质求出f′（x）＞0时和f′（x）＜0时的x的取值范围，进而得到f（x）的单调区间；若对任意的x∈[0，a]，不等式0≤f（x）≤a恒成立，则f（x）的最小值大于等于0，最大值小于等于a，分类讨论后综合讨论结果可得答案．
【解析】
（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x3-，
∴f′（x）=3x2-9x+6．…（2分）
令f′（x）=0，则x=1或x=2，
当f′（x）＞0时，x＜1，或x＞2； 当f′（x）＜0时，1＜x＜2，
所以f（x）的单调递增区间是（-∞，1），（2，+∞），单调递减区间是（1，2）．        …（6分）
（Ⅱ）∵f（x）=x3-，
∴f′（x）=3x2-．
f′（x）=0，则x=1或x=（a∈（0，2]），
当f′（x）＞0时，x＜1，或x＞+1；当f′（x）＜0时，1＜x＜+1，
所以f（x）的单调递增区间是（-∞，1），（+1，+∞），单调递减区间是（1，+1）．  …（9分）
因为f（0）=0，下面分类讨论研究当x∈[0，a]时，f（x）最大值与最小值：
（1）当0＜a≤1时，f（x）在[0，a]上单调递增，
即f（x）的最小值为f（0）=0，最大值为f（a），
只要f（a）≤a成立即可，解得2≤a≤4，所以a不存在．   …（12分）
（2）当1＜a≤2时，即1＜a＜+1，f（x）在[0，1]上单调递增，在（1，a） 单调递减，
即f（x）的最小值为f（0）=0或f（a），最大值为f（1），
只要，解得a≥4，所以a也不存在．
综上所述，满足条件的实数a不存在．                         …（15分）