Question

如图，O为坐标原点，点F为抛物线C₁：x²=2py（p＞0）的焦点，且抛物线C₁上点P处的切线与圆C₂：x²+y²=1相切于点Q．
（Ⅰ）当直线PQ的方程为x-y-=0时，求抛物线C₁的方程；
（Ⅱ）当正数p变化时，记S₁，S₂分别为△FPQ，△FOQ的面积，求的最小值．

Answer

（Ⅰ）设点P（x，），代入直线PQ的方程得一方程，再根据抛物线在P处切线斜率为1列一方程，解方程组即可求得p值；
（Ⅱ）易表示出点p处切线方程，据线圆相切得一方程，再与圆联立方程组可表示出Q坐标，据弦长公式可表示出|PQ|，利用点到直线的距离公式可表示出点F到切线PQ的距离d，则S1可表示，又=，所以可表示为关于x的函数，据函数结构特点利用基本不等式即可求得其最小值．
【解析】
（Ⅰ）设点P（x，），由x2=2py（p＞0）得，y=，求导y′=，
因为直线PQ的斜率为1，所以=1且x--=0，解得p=2，
所以抛物线C1 的方程为．
（Ⅱ）因为点P处的切线方程为：y-=（x-x），即2xx-2py-=0，
根据切线与圆切，得d=r，即=1，化简得，
由方程组，解得Q（，），
所以|PQ|=|xP-xQ|==，
点F（0，）到切线PQ的距离是d==，
所以=××=，
=，
而由知，4p2=，得|x|＞2，
所以===
==+3≥2+3，当且仅当时取“=”号，即，此时，p=．
所以的最小值为2+3．