Question

已知数列{a_n}满足，则该数列的前10项的和为    ．

Answer

根据数列递推式，可得数列{a2k-1}是首项为1、公差为1的等差数列，因此a2k-1=k，数列{a2k}是首项为2、公比为2的等比数列，因此a2k=2k，从而可求数列的前10项的和．
【解析】
因为a1=1，a2=2，所以a3=（1+cos2 ）a1+sin2 =a1+1=2，a4=（1+cos2π）a2+sin2π=2a2=4．
一般地，当n=2k-1（k∈N*）时，a2k+1=[1+cos2 ]a2k-1+sin2 =a2k-1+1，即a2k+1-a2k-1=1．
所以数列{a2k-1}是首项为1、公差为1的等差数列，因此a2k-1=k．
当n=2k（k∈N*）时，a2k+2=（1+cos2 ）a2k+sin2 =2a2k．
所以数列{a2k}是首项为2、公比为2的等比数列，因此a2k=2k．
该数列的前10项的和为1+2+2+4+3+8+4+16+5+32=77
故答案为：77