Question

如图，已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，底面ABCD为菱形，∠DAB=120°，E为线段CC₁的中点，F为线段BD₁的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面ABCD；
（Ⅱ）当的比值为多少时，DF⊥平面D₁EB，并说明理由．

Answer

（Ⅰ）证明EF∥面ABCD，利用线面平行的判定定理，证明EF∥AC即可；
（Ⅱ）当时，DF⊥平面D1EB，以此为条件，利用线面垂直的判定定理，即可证得．
（Ⅰ）证明：连接AC1，由题意可知点F为AC1的中点．
∵因为点E为CC1的中点，∴在△ACC1中，EF∥AC．…（2分）
又∵EF⊄面ABCD，AC⊆面ABCD，∴EF∥面ABCD．…（6分）
（Ⅱ）【解析】
当时，DF⊥平面D1EB．  …（7分）
∵四边形ABCD为菱形，且∠DAB=120°，∴．
∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱，∴四边形DBB1D1为矩形．
又，∴BD=DD1，∴四边形DBB1D1为正方形，∴DF⊥D1B…（10分）
在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，DD1⊥底面ABCD，AC⊆面ABCD，∴AC⊥DD1
∵四边形ABCD为菱形，AC⊥BD，BD∩DD1=D，
∴AC⊥面DBB1D1．
∵DF⊆面DBB1D1，∴AC⊥DF，又EF∥AC，∴EF⊥DF．…（13分）
∵EF⊆面D1EB，D1B⊆面D1EB，EF∩D1B=F，∴DF⊥平面D1EB．…（14分）