Question

已知双曲线E：的左焦点为F，左准线l与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线FG与直线l交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；
（Ⅲ）在平面上是否存在定点P，使得对圆C上任意的点G有？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）利用左准线l与x轴的交点是圆C的圆心，确定圆心坐标，又圆C恰好经过坐标原点O，可求圆的半径，从而可求圆C的方程；
（Ⅱ）设出G（-5，yG）代入圆C的方程求出yG，进而求出FG的方程，利用点到直线的距离公式求出C（-4，0）到FG的距离，再利用勾股定理即可求出弦长的一半进而可求解；
（Ⅲ）假设存在P（s，t），G（x，y），利用两点间的距离公式化简，结合G在圆C上，即可求得结论．
【解析】
（Ⅰ）由双曲线E：，得l：x=-4，C（-4，0），F（-6，0）．…（2分）
又圆C过原点，所以圆C的方程为（x+4）2+y2=16．   …（4分）
（Ⅱ）由题意，设G（-5，yG），代入（x+4）2+y2=16，得，…（5分）
所以FG的斜率为，FG的方程为．…（6分）
所以C（-4，0）到FG的距离为，…（7分）
直线FG被圆C截得的弦长为…（9分）
（Ⅲ）设P（s，t），G（x，y），则由，得
整理得3（x2+y2）+（48+2s）x+2ty+144-s2-t2=0．①…（11分）
又G（x，y）在圆C：（x+4）2+y2=16上，所以x2+y2+8x=0   ②
②代入①，得（2s+24）x+2ty+144-s2-t2=0．…（13分）
又由G（x，y）为圆C上任意一点可知，…（14分）
解得：s=-12，t=0．…（15分）
所以在平面上存在一定点P，其坐标为（-12，0）．  …（16分）