分等腰三角形△F1F2P以F1F2为底和以F1F2为一腰两种情况进行讨论,结合以椭圆焦点为圆心半径为2c的圆与椭圆位置关系的判断,建立关于a、c的不等式,解之即可得到椭圆C的离心率的取值范围.
【解析】
①当点P与短轴的顶点重合时,
△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形,
此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P;
②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时,
以F2P作为等腰三角形的底边为例,
∵F1F2=F1P,
∴点P在以F1为圆心,半径为焦距2c的圆上
因此,当以F1为圆心,半径为2c的圆与椭圆C有2交点时,
存在2个满足条件的等腰△F1F2P,
此时a-c<2c,解得a<3c,所以离心率e>
当e=时,△F1F2P是等边三角形,与①中的三角形重复,故e≠
同理,当F1P为等腰三角形的底边时,在e>且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P
这样,总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形
综上所述,离心率的取值范围是:e∈(,)∪(,1)
故答案为:(,)∪(,1)