Question

已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，a=2，．
（Ⅰ）求tan（A+B）的值；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

Answer

（I）利用两角和与差的正切函数公式化简tan（A+B），将已知的等式变形后代入，即可求出tan（A+B）的值；
（II）由tan（A+B）的值，及A和B都为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出A+B的度数，进而得出C的度数，得到sinC和cosC的值，利用余弦定理得到c2=a2+b2-2abcosC，将a，c及cosC的值代入，求出b的值，再由a，b及sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
【解析】
（I）∵tanA+tanB=-tanAtanB=（1-tanAtanB），
∴tan（A+B）===；
（II）由（I）及A和B都为三角形的内角，得到A+B=，
∴C=，
∵c2=a2+b2-2abcosC，a=2，c=，cosC=-，
∴19=4+b2-2×2×b×（-），即（b-3）（b+5）=0，
解得：b=3或b=-5（舍去），
∴b=3，又sinC=，
∴S△ABC=absinC=×2×3×=．