Question

已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），若y=在（0，+∞）上为增函数，则称f（x）为“一阶比增函数”；若y=在（0，+∞）上为增函数，则称f（x）为“二阶比增函数”．我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为Ω₁，所有“二阶比增函数”组成的集合记为Ω₂．
（Ⅰ）已知函数f（x）=x³-2hx²-hx，若f（x）∈Ω₁，且f（x）∉Ω₂，求实数h的取值范围；
（Ⅱ）已知0＜a＜b＜c，f（x）∈Ω₁且f（x）的部分函数值由下表给出，

x	a	b	c	a+b+c
f（x）	d	d	t	4

求证：d（2d+t-4）＞0；
（Ⅲ）定义集合Φ={f（x）|f（x）∈Ω₂，且存在常数k，使得任取x∈（0，+∞），f（x）＜k}，请问：是否存在常数M，使得∀f（x）∈Φ，∀x∈（0，+∞），有f（x）＜M成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，说明理由．

Answer

（I）根据f（x）为“一阶比增函数”不是“二阶比增函数”．可得g（x）==x2-2hx-h，在（0，+∞）是增函数，且h（x）==x-2h-在（0，+∞）不是增函数，根据二次函数的图象和性质及导数法，可求出实数h的取值范围；
（Ⅱ）根据f（x）为“一阶比增函数”，且0＜a＜b＜c，结合表中数据可得f（a）=d＜，f（b）=d＜，f（c）=t＜，根据不等式的性质可证得d（2d+t-4）＞0；
（Ⅲ）根据f（x）为“二阶比增函数”，我们先证明f（x）≤0对x∈（0，+∞）成立，再证明f（x）=0在（0，+∞）上无解，综合两个证明结果，可得答案．
【解析】
（I）因为f（x）∈Ω1，且f（x）∉Ω2，
即g（x）==x2-2hx-h，在（0，+∞）是增函数，所以h≤0  …（2分）
而h（x）==x-2h-在（0，+∞）不是增函数，
又∵h′（x）=1+，且
当h（x）是增函数时，有h≥0，所以当h（x）不是增函数时，h＜0
综上，得h＜0                          …（4分）
证明：（Ⅱ） 因为f（x）∈Ω1，且0＜a＜b＜c＜a+b+c，
所以＜=，所以f（a）=d＜，
同理可证f（b）=d＜，f（c）=t＜
三式相加得f（a）+f（b）+f（c）=2d+t＜=4
所以2d+t-4＜0                        …（6分）
因为＜，所以d（）＜0
而0＜a＜b，所以d＜0
所以d（2d+t-4）＞0                                …（8分）
（Ⅲ） 因为集合Φ={f（x）|f（x）∈Ω2，且存在常数k，使得任取x∈（0，+∞），f（x）＜k}，
所以∀f（x）∈Φ，存在常数k，使得 f（x）＜k 对x∈（0，+∞）成立
我们先证明f（x）≤0对x∈（0，+∞）成立
假设∃x∈（0，+∞），使得f（x）＞0，
记=m＞0
因为f（x）是二阶比增函数，即是增函数．
所以当x＞x时，＞=m，所以f（x）＞mx2
所以一定可以找到一个x1＞x，使得f（x1）＞mx12＞k
这与f（x）＜k 对x∈（0，+∞）成立矛盾                 …（11分）
即f（x）≤0对x∈（0，+∞）成立
所以∀f（x）∈Φ，f（x）≤0对x∈（0，+∞）成立
下面我们证明f（x）=0在（0，+∞）上无解
假设存在x2＞0，使得f（x2）=0，
则因为f（x）是二阶增函数，即是增函数
一定存在x3＞x2＞0，使＞=0，这与上面证明的结果矛盾
所以f（x）=0在（0，+∞）上无解
综上，我们得到∀f（x）∈Φ，f（x）＜0对x∈（0，+∞）成立
所以存在常数M≥0，使得∀f（x）∈Φ，∀x∈（0，+∞），有f（x）＜M成立
又令f（x）=-（x＞0），则f（x）＜0对x∈（0，+∞）成立，
又有=在（0，+∞）上是增函数，所以f（x）∈Φ，
而任取常数k＜0，总可以找到一个xn＞0，使得x＞xn时，有有f（x）＞k
所以M的最小值 为0       …（16分）