Question

对于数集X={-1，x₁，x₂，…，x_n}，其中0＜x₁＜x₂＜…＜x_n，n≥2，定义向量集Y={=（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意，存在，使得，则称X具有性质P．例如{-1，1，2}具有性质P．
（1）若x＞2，且{-1，1，2，x}具有性质P，求x的值；
（2）若X具有性质P，求证：1∈X，且当x_n＞1时，x₁=1；
（3）若X具有性质P，且x₁=1、x₂=q（q为常数），求有穷数列x₁，x₂，…，x_n的通项公式．

Answer

（1）在Y中取=（x，2），根据数量积的坐标公式，可得Y中与垂直的元素必有形式（-1，b），所以x=2b，结合x＞2，可得x的值．
（2）取=（x1，x1），=（s，t）根据，化简可得s+t=0，所以s、t异号．而-1是数集X中唯一的负数，所以s、t中的负数必为-1，另一个数是1，从而证出1∈X，最后通过反证法，可以证明出当xn＞1时，x1=1．
（3）[解法一]先猜想结论：xi=qi-1，i=1，2，3，…，n．记Ak═{-1，x1，x2，…，xk}，k=2，3，…，n，通过反证法证明出引理：若Ak+1具有性质P，则Ak也具有性质P．最后用数学归纳法，可证明出xi=qi-1，i=1，2，3，…，n；
[解法二]设=（s1，t1），=（s2，t2），则等价于，得到一正一负的特征，再记B={|s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，则可得结论：数集X具有性质P，当且仅当数集B关于原点对称．又注意到-1是集合X中唯一的负数，B∩（-∞，0）={-x2，-x3，-x4，…，-xn}，共有n-1个数，所以B∩（0．+∞）也有n-1个数．最后结合不等式的性质，结合三角形数阵加以说明，可得==…=，最终得到数列的通项公式是xk=x1•（）k-1=qk-1，k=1，2，3，…，n．
【解析】
（1）选取=（x，2），则Y中与垂直的元素必有形式（-1，b），所以x=2b，
又∵x＞2，∴只有b=2，从而x=4．
（2）取=（x1，x1）∈Y，设=（s，t）∈Y，满足，可得（s+t）x1=0，s+t=0，所以s、t异号．
因为-1是数集X中唯一的负数，所以s、t中的负数必为-1，另一个数是1，所以1∈X，
假设xk=1，其中1＜k＜n，则0＜x1＜1＜xn．
再取=（x1，xn）∈Y，设=（s，t）∈Y，满足，可得sx1+txn=0，
所以s、t异号，其中一个为-1
①若s=-1，则x1=txn＞t≥x1，矛盾；
②若t=-1，则xn=sx1＜s≤xn，矛盾；
说明假设不成立，由此可得当xn＞1时，x1=1．
（3）[解法一]猜想：xi=qi-1，i=1，2，3，…，n
记Ak═{-1，x1，x2，…，xk}，k=2，3，…，n
先证明若Ak+1具有性质P，则Ak也具有性质P．
任取=（s，t），s、t∈Ak，当s、t中出现-1时，显然有满足
当s、t中都不是-1时，满足s≥1且t≥1．
因为Ak+1具有性质P，所以有=（s1，t1），s1、t1∈Ak+1，使得，从而s1、t1其中有一个为-1
不妨设s1=-1，
假设t1∈Ak+1，且t1∉Ak，则t1=xk+1．由（s，t）（-1，xk+1）=0，得s=txk+1≥xk+1，与s∈Ak矛盾．
所以t1∈Ak，从而Ak也具有性质P．
再用数学归纳法，证明xi=qi-1，i=1，2，3，…，n
当n=2时，结论显然成立；
假设当n=k时，Ak═{-1，x1，x2，…，xk}具有性质P，则xi=qi-1，i=1，2，…，k
当n=k+1时，若Ak+1═{-1，x1，x2，…，xk+1}具有性质P，则Ak═{-1，x1，x2，…，xk}具有性质P，
所以Ak+1═{-1，q，q2，…，qk-1，xk+1}．
取=（xk+1，q），并设=（s，t）∈Y，满足，由此可得s=-1或t=-1
若t=-1，则xk+1=，不可能
所以s=-1，xk+1=qt=qj≤qk且xk+1＞qk-1，因此xk+1=qk
综上所述，xi=qi-1，i=1，2，3，…，n
[解法二]设=（s1，t1），=（s2，t2），则等价于
记B={|s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，则数集X具有性质P，当且仅当数集B关于原点对称
注意到-1是集合X中唯一的负数，B∩（-∞，0）={-x2，-x3，-x4，…，-xn}，共有n-1个数．
所以B∩（0，+∞）也有n-1个数．
由于＜＜＜…＜，已经有n-1个数
对以下三角形数阵：＜＜＜…＜，
                  ＜＜＜…＜
                 …

注意到＞＞＞…＞，所以==…=
从而数列的通项公式是xk=x1•（）k-1=qk-1，k=1，2，3，…，n．