Question

如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是AA₁、D₁C₁的中点，过D、M、N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l；
（1）画出直线l；
（2）设l∩A₁B₁=P，求PB₁的长；
（3）求D到l的距离．

Answer

（1）根据正方体的几何特征，我们易得连接DM并延长交D1A1的延长线于Q．连接NQ，即可得到满足条件的直线l；
（2）若l∩A1B1=P，即QN∩A1B1=P，我们易根据三角形相似的性质得到A1是QD1的中点．进而求出PB1的长；
（3）作D1H⊥l于H，连接DH，根据正方体的几何特征，易得DH⊥l，即DH的长就是D到l的距离．解Rt△QD1N即可得到答案．
【解析】
（1）连接DM并延长交D1A1的延长线于Q．连接NQ，
则NQ即为所求的直线l．
（2）设QN∩A1B1=P，△A1MQ≌△MAD，
∴A1Q=AD=A1D1，A1是QD1的中点．
∴A1P=D1N=．∴PB1=a．
（3）作D1H⊥l于H，连接DH，可证明l⊥平面DD1H，则DH⊥l，则DH的长就是D到l的距离．
在Rt△QD1N中，两直角边D1N=，D1Q=2a，斜边QN=，∴D1H•QN=D1N•D1Q，即D1H=，DH=，∴D1到l的距离为．