Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是AB，AA₁的中点．求证：
（1）E，C，D₁，F四点共面；
（2）CE，D₁F，DA三线共点．

Answer

（1）由三角形中位线定理和平行公式，得到EF∥D1C，再由两条平行线确定一个平面，得到E，C，D1，F四点共面．
（2）分别延长D1F，DA，交于点P，由P∈DA，DA⊂面ABCD，知P∈面ABCD．再由三角形中位线定理证明CE，D1F，DA三线共点于P．
证明：（1）连接EF，A1B，D1C，
∵E，F分别是AB，AA1的中点，
∴EF∥A1B，A1B∥D1C，
∴EF∥D1C，
∴由两条平行线确定一个平面，得到E，C，D1，F四点共面．
（2）分别延长D1F，DA，交于点P，
∵P∈DA，DA⊂面ABCD，
∴P∈面ABCD．
∵F是AA1的中点，FA∥D1D，
∴A是DP的中点，
连接CP，∵AB∥DC，
∴CP∩AB=E，
∴CE，D1F，DA三线共点于P．