Question

若i是虚数单位，则i+2i²+3i³+…+2013i²⁰¹³=    ．

Answer

由虚数单位的周期性可得得i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，其中n为自然数，S=i+2i2+3i3+…+2013i2013，①进而可得：iS=i2+2i3+3i4+…+2013i2014，②，两式相减，由等比数列的求和公式，结合复数的运算化简即可．
【解析】
由虚数单位i性质可得i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=1，其中n为自然数，
设S=i+2i2+3i3+…+2013i2013，①
两边同乘以i可得：iS=i2+2i3+3i4+…+2013i2014，②
①-②可得（1-i）S=i+i2+i3+…+i2013-2013i2014
=-2013i2014=-2013×（-1）=2013+i，
故S====1006+1007i
故答案为：1006+1007i