Question

若A、B与 F₁、F₂分别为椭圆C：的两长轴端点与两焦点，椭圆C上的点P使得∠F₁PF₂=，则tan∠APB=    ．

Answer

由椭圆的定义和勾股定理，算出点P在第一象限时的坐标为P（，），再由直线PA、PB的倾斜角与∠APB的关系，结合斜率公式和正切的差角公式，即可算出tan∠APB的值．
【解析】
根据题意，∠APB的大小与点P在哪一象限无关，因此以点P在第一象限为例，设P（m，n）
∵|PF1|+|PF2|=2a=2，|PF1|2+|PF2|2=4c2=16
∴|PF1|•|PF2|=[（|PF1|+|PF2|）2-（|PF1|2+|PF2|2）]=2
由此可得，△PF1F2的面积S=|PF1|•|PF2|=1
又∵△PF1F2的面积S=|F1F2|•n=1
∴n==，代入椭圆方程可得m=，得P（，）
因此：kPA==，kPB==
∵∠APB等于PB的倾斜角减去PA的倾斜角
∴tan∠APB===-
故答案为：