Question

如图，椭圆C：过点M（1，），N（），梯形ABCD（AB∥CD∥y轴，且AB＞CD）内接于椭圆，E是对角线AC与BD的交点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设AB=m，CD=n，OE=d，试求的最大值．

Answer

（Ⅰ）把M、N两点坐标代入椭圆方程解方程组即可；
（Ⅱ）易判断点E在x轴上，则E（d，0），设BD的方程为x=ky+d（k＞0），与椭圆方程联立消x得关于y的一元二次方程，设B（x1，y1），D（x2，y2），由韦达定理可得y1+y2，进而可把m-n、用k表示出来，再利用基本不等式即可求得其最大值．
【解析】
（Ⅰ）由题意得，
解得a2=9，b2=4，
所以椭圆C的方程为：．
（Ⅱ）根据对称性可知点E在x轴上，则E点的坐标为（d，0），
设BD的方程为x=ky+d（k＞0），由得（9+4k2）y2+8dky+4d2-36=0，
设B（x1，y1），D（x2，y2），则y1+y2=-，
m-n=-2y1-2y2=，
从而≤==，
等号当且仅当k=取得．
的最大值为．