Question

已知数列a_n的各项都为正数，a₁=1，前n项和S_n满足（n≥2）．
（Ⅰ）求数列a_n的通项公式；
（Ⅱ）令（n∈N^*），数列b_n的前n项和为T_n，若a_n+1≥λT_n对任意正整数n都成立，求实数λ的取值范围．

Answer

（I）有数列an的前n项和Sn满足（n≥2）⇒，先求出Sn，在求出数列an的通项公式；
（II）有（I）得到an又有（n∈N*），得到数列bn的通项公式，再利用求和方法的其前n项和然后解不等式．
【解析】
（Ⅰ）∵，
∴，
又∵an＞0，∴，∴（n≥2），
∴数列是等差数列，首项为，公差为1，
∴，∴Sn=n2
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-（n-1）2=2n-1；
又a1=1，∴数列an的通项公式为an=2n-1．
（Ⅱ），
∴．
由an+1≥λTn得对任意正整数n都成立，
∴（2n+1）2≥λn，
∴．
令，则，
∴f（x）在[1，+∞）上递增，
∴对任意正整数n，的最小值为5，∴λ≤9．