Question

已知函数（a＞0）．
（Ⅰ）若a=1，求f（x）在（0，1]上的最大值；
（Ⅱ）若x∈（0，1），求f（x）的单调区间．

Answer

（Ⅰ）先求出导函数极其单调性，利用单调性求出极值，再与端点函数值比较即可求f（x）在（0，1]上的最大值；
（Ⅱ）先求出导函数，以及单调区间的分界点，与区间端点进行比较即可求出x∈（0，1）时f（x）的单调区间．
【解析】
（Ⅰ）a=1时，，
则，
当0＜x≤1时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，1]上单调递增，
∴f（x）在（0，1]上的最大值为f（1）=3．
（Ⅱ）（0＜x＜1），判别式△=a2-4．
∵0＜x＜1，a＞0，∴当△≤0时，
即0＜a≤2时，x2-ax+1＞0，因此，f'（x）＞0，
此时，f（x）在（0，1）上单调递增，即f（x）只有增区间（0，1）．
当△＞0时，即a＞2时，方程x2-ax+1=0有两个不等根，
设，，则0＜x1＜x2．当x变化时，f'（x），f（x）的变化如下：

x （0，x1） x1 （x1，x2） x2 （x2，+∞）
f′（x） + - +
f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增

．
∵a＞2，∴a-2＞0．
而（a-2）2=a2-4a+4，，由a＞2可得a2-4a+4＜a2-4，∴，∴x1-1＜0，∴x1＜1.，由a＞2可得x2-1＞0，∴x2＞1．
因此，当a＞2时，f（x）的增区间为，减区间为．