Question

已知点F椭圆E：+=1（a＞b＞0）的右焦点，点M在椭圆E上，以M为圆心的圆与x轴切于点F，与y轴交于A、B两点，且△ABM是边长为2的正三角形；又椭圆E上的P、Q两点关于直线l：y=x+n对称．
（I）求椭圆E的方程；
（II）当直线l过点（0，）时，求直线PQ的方程；
（III）若点C是直线l上一点，且∠PCQ=，求△PCQ面积的最大值．

Answer

（I）先利用△ABM是边长为2的正三角形求出c，再利用点M在椭圆E上即可求椭圆E的方程；
（II）把直线PQ的方程与椭圆方程联立求出P、Q两点的坐标之间的关系，再利用P、Q两点关于直线l：y=x+n对称．即可求直线PQ的方程；
（III）把△PCQ面积用|PQ|表示出来，再利用弦长公式求出|PQ|即可求△PCQ面积的最大值．
【解析】
（I）由题意可知：
M （c，2）且c为正三角形的高，所以c=
将点M坐标代入椭圆方程可得：与a2=b2+3联立可得：a2=9，b2=6，所以椭圆方程为：
（II）设PQ：y=-x+m代入椭圆方程2x2+3y2=18整理得5x2-6mx+3m2-18=0
△=36m2-4•5•（3m2-18）＞0，则
令P（x1，y1），Q（x2，y2），故
，则P、Q的中点为
由于l方程为，故，得m=-1
则直线PQ的方程为y=-x-1
（III）[1+（-1）2]

=
则当m=0时，S△POQ的最大值为