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如图为一简单组合体,其底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,EC∥PD,且P...

manfen5.com 满分网如图为一简单组合体,其底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,EC∥PD,且PD=2EC,
(1)求证:BE∥平面PDA;
(2)若N为线段PB的中点,求证:EN⊥平面PDB;
(3)若manfen5.com 满分网,求平面PBE与平面ABCD所成的二面角的大小.
(1)由EC∥PD,根据线面平行的判定得:EC∥平面PDA,同时有BC∥平面PDA,再由面面平行的判定得平面BEC∥平面PDA,最后转化为线面平行. (2)因为以D出发的三条线两两垂直,所以可以建立如图空间直角坐标系,利用向量法只要证明,即可. (3)分别求得二个半平面的一个法向量即可,易知为平面PBE的法向量,为平面ABCD的法向量,分别求得其坐标,再用夹角公式求解即可. 【解析】 (1)证明:∵EC∥PD,PD⊂平面PDA,EC⊄平面PDA ∴EC∥平面PDA, 同理可得BC∥平面PDA(2分) ∵EC⊂平面EBC,BC⊂平面EBC且EC∩BC=C ∴平面BEC∥平面PDA(3分) 又∵BE⊂平面EBC ∴BE∥平面PDA(4分) (2)如图以点D为坐标原点,以AD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示: 设该简单组合体的底面边长为1,PD=a 则B(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,a),,(6分) ∴,, ∵, ∴EN⊥PB,EN⊥DB(8分) ∵PB、DB⊂面PDB,且PB∩DB=B ∴NE⊥面PDB(9分) (3)连接DN,由(2)知NE⊥面PDB∴DN⊥NE, ∵, ∴PD=DB∴DN⊥PB ∴为平面PBE的法向量,设AD=1,则 ∴=(11分) ∵为平面ABCD的法向量,,(12分) 设平面PBE与平面ABCD所成的二面角为θ, 则(13分) ∴θ=45°即平面PBE与平面ABCD所成的二面角为45°(4分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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