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已知椭圆的中心为坐标原点O,椭圆短半轴长为1,动点M(2,t)(t>0)在直线上...

已知椭圆的中心为坐标原点O,椭圆短半轴长为1,动点M(2,t)(t>0)在直线manfen5.com 满分网上.
(1)求椭圆的标准方程
(2)求以OM为直径且被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2的圆的方程;
(3)设F是椭圆的右焦点,过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,求证:线段ON的长为定值,并求出这个定值.
(1)把M的横坐标代入准线方程得到一个关系式,然后由短半轴b和c表示出a,代入关系式得到关于c的方程,求出方程的解得到c的值,进而得到a的值,由a和b的值写出椭圆的标准方程即可; (2)设出以OM为直径的圆的方程,变为标准方程后找出圆心坐标和圆的半径,由以OM为直径的圆被直线3x-4y-5=0截得的弦长,过圆心作弦的垂线,根据垂径定理得到垂足为中点,由弦的一半,半径以及圆心到直线的距离即弦心距构成直角三角形,利用点到直线的距离公式表示出圆心到3x-4y-5=0的距离d,根据勾股定理列出关于t的方程,求出方程的解即可得到t的值,即可确定出所求圆的方程; (3)设出点N的坐标,表示出,,及,由,得到两向量的数量积为0,利用平面向量的数量积的运算法则表示出一个关系式,又,同理根据平面向量的数量积的运算法则得到另一个关系式,把前面得到的关系式代入即可求出线段ON的长,从而得到线段ON的长为定值. 【解析】 (1)又由点M在准线上,得 故,∴c=1,从而 所以椭圆方程为; (2)以OM为直径的圆的方程为x(x-2)+y(y-t)=0 即 其圆心为,半径 因为以OM为直径的圆被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2 所以圆心到直线3x-4y-5=0的距离= 所以,解得t=4 所求圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=5 (3)设N(x,y),则, , ∵,∴2(x-1)+ty=0,∴2x+ty=2, 又∵,∴x(x-2)+y(y-t)=0, ∴x2+y2=2x+ty=2, 所以为定值.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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