Question

如图，过抛物线x²=4y焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点（A在第一象限），点C（0，t）（t＞1）．
（I）若△CBF，△CFA，△CBA的面积成等差数列，求直线l的方程；
（II）若，且∠FAC为锐角，试求t的取值范围．

Answer

（I）设直线l的方程为y=kx+1，代入x2=4y，得x2-4kx-4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4k，x1x2=-4，由△CBF，△CFA，△CBA的面积成等差数列，得|FA|=2|BF|，由此能求出直线方程．
（Ⅱ）由抛物线x2=4y焦点F（0，1），知，，若∠FAC为锐角，则，由|AB|∈（），知|AB|=y1+y2+2=kx1+1+kx2+1=4k2+4，由此能够推导出t的取值范围．
【解析】
（I）设直线l的方程为y=kx+1，
代入x2=4y，得x2-4kx-4=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=4k，x1x2=-4，①
∵△CBF，△CFA，△CBA的面积成等差数列，
即|BF|，|FA|，|BA|成等差数列，
∴|BF|+|BA|=2|FA|，
得|FA|=2|BF|，
即x1=-2x2，代入①得，
∴所求直线方程为，即．
（Ⅱ）∵抛物线x2=4y焦点F（0，1），
∴，，
若∠FAC为锐角，则，
即，
∵|AB|∈（），
|AB|=y1+y2+2=kx1+1+kx2+1=k（x1+x2）+2=4k2+4，
且=，
从而|AB|=，
得．
若，当t＞1时，∠FAC必为锐角；
若y1∈（2，7），则在（2，7）上恒成立．
由于g（y1）的对称轴为，
故①当-，即1＜t＜7时，g（2）=10-t＞0满足题意；
②当2，即7≤t≤17时，△=（3-t）2-4t＜0，
即t2-10t+9＜0，解得1＜t＜9，∴7≤t＜9；
③当-，即t＞17时，g（7）=70-6t＞0无解．
综上所述，t的取值范围是（1，9）．