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如图所示,在边长为12的正方形ADD1A1中,点B,C在线段AD上,且AB=3,...

如图所示,在边长为12的正方形ADD1A1中,点B,C在线段AD上,且AB=3,BC=4,作BB1∥AA1,分别交A1D1、AD1于点B1、P,作CC1∥AA1,分别交A1D1、AD1于点C1、Q,将该正方形沿BB1、CC1折叠,使得DD1与AA1重合,构成如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1
(1)求证:AB⊥平面BCC1B1
(2)求四棱锥A-BCQP的体积;
(3)求二面角A-PQ-C的大小.

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(1)证明直线与平面垂直,关键要找到两条相交直线与之都垂直.在这个“折叠问题”中,要把握好不变的长度关系、线线关系、线面关系,即可得证; (2)AB为四棱锥A-BCQP的高,并且四边形BCQP为直角梯形,由此可求四棱锥A-BCQP的体积; (3)建立空间直角坐标系B-xyz,确定平面的法向量,利用向量的夹角公式,即可求解. (1)证明:在正方形ADD1A1中,因为CD=AD-AB-BC=5, 所以三棱柱ABC-A1B1C1的底面三角形ABC的边AC=5. 因为AB=3,BC=4,所以AB2+BC2=AC2,所以AB⊥BC. 因为四边形ADD1A1为正方形,AA1∥BB1,所以AB⊥BB1,而BC∩BB1=B, 所以AB⊥平面BCC1B1; (2)【解析】 因为AB⊥平面BCC1B1,所以AB为四棱锥A-BCQP的高. 因为四边形BCQP为直角梯形,且BP=AB=3,CQ=AB+BC=7, 所以梯形BCQP的面积为SBCQP=(BP+CQ)×BC=20. 所以四棱锥A-BCQP的体积VA-BCQP=SBCQP×AB=20. (3)【解析】 由(1)、(2)可知,AB,BC,BB1两两互相垂直.以B为原点,建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz, 则A(0,0,3),B(0,0,0),C(4,0,0),P(0,3,0),Q(4,7,0), 所以=(0,3,-3),=(4,7,-3), 设平面PQA的一个法向量为=(x,y,z). 则•=0,•=0,即. 令x=-1,则y=z=1,所以=(-1,1,1). ∵平面BCQ的一个法向量为=(0,0,1). 设平面PQA与平面BCQ所成锐二面角为θ,则cosθ=cos<,>==. ∴平面PQA与平面BCA所成锐二面角的余弦值为 ∴二面角A-PQ-C的大小为arccos.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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