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已知数列{an}是各项均不为0的等差数列,公差为d,Sn 为其前n项和,且满足a...

已知数列{an}是各项均不为0的等差数列,公差为d,Sn 为其前n项和,且满足an2=S2n-1,n∈N*.数列{bn}满足bn=manfen5.com 满分网,Tn为数列{bn}的前n项和.
(1)求数列{an}的通项公式和Tn
(2)是否存在正整数m,n(1<m<n),使得T1,Tm,Tn,成等比数列?若存在,求出所有m,n的值;若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)(法一)在an2=S2n-1,令n=1,n=2,结合等差数列的通项公式可求a1=1,d=2,可求通项,而bn=,结合数列通项的特点,考虑利用裂项相消法求和 (法二):由等差数列的性质可知,=(2n-1)an,结合已知an2=S2n-1,可求an,而bn=,结合数列通项的特点,考虑利用裂项相消法求和 (Ⅱ)由(I)可求T1=,Tm=,Tn=,代入已知可得 法一:由可得,>0可求m的范围,结合m∈N且m>1可求m,n 法二:由可得,结合m∈N且m>1可求m,n 【解析】 (Ⅰ)(法一)在an2=S2n-1,令n=1,n=2可得 即 ∴a1=1,d=2 ∴an=2n-1 ∵bn===() ∴)=(1-)= (法二)∵{an}是等差数列, ∴ ∴=(2n-1)an 由an2=S2n-1,得an2=(2n-1)an, 又an≠0, ∴an=2n-1 ∵bn===() ∴)=(1-)= (Ⅱ)∵T1=,Tm=,Tn= 若T1,Tm,Tn,成等比数列,则 即 法一:由可得,>0 即-2m2+4m+1>0 ∴ ∵m∈N且m>1 ∴m=2,此时n=12 ∴当且仅当m=2,n=12时,T1,Tm,Tn,成等比数 法二:∵ ∴ ∴2m2-4m-1<0 ∴ ∵m∈N且m>1 ∴m=2,此时n=12 ∴当且仅当m=2,n=12时,T1,Tm,Tn,成等比数
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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