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已知双曲线的离心率为,左、右焦点分别为F1、F2,在双曲线C上有一点M,使MF1...

已知双曲线manfen5.com 满分网的离心率为manfen5.com 满分网,左、右焦点分别为F1、F2,在双曲线C上有一点M,使MF1⊥MF2,且△MF1F2的面积为.
(1)求双曲线C的方程;
(2)过点P(3,1)的动直线 l与双曲线C的左、右两支分别交于两点A、B,在线段AB上取异于A、B的点Q,满足|AP|•|QB|=|AQ|•|PB|,证明:点Q总在某定直线上.
(1)由双曲线(a>0,b>0)的离心率为,知a2=3b2.由MF1⊥MF2,且△MF1F2的面积为1.知|MF1||MF2|=2.由此能导出双曲线C的方程. (2)解法1:设点Q,A,B的坐标分别为(x,y),(x1,y1),(x2,y2),且x1<x2<3,又设直线l的倾斜角为θ,分别过点P,Q,A,B作x轴的垂线,垂足分别为P1,Q1,A1,B1,则 ,,,,由|AP|•|QB|=|AQ|•|PB|,知(3-x1)(x2-x)=(x-x1)(3-x2),由此能够证明点Q(x,y)总在定直线x-y-1=0上. 解法2:设点Q,A,B的坐标分别为(x,y),(x1,y1),(x2,y2),且x1<x2<3,由|AP|•|QB|=|AQ|•|PB|,知[6-(x1+x2)]x=3(x1+x2)-2x1x2.由此能够证明点Q(x,y)总在定直线x-y-1=0上. 解法3:设点Q,A,B的坐标分别为(x,y),(x1,y1),(x2,y2),由题设知|AP|,|PB|,|AQ|,|QB|均不为零,记PBAQxy.由过点P的直线l与双曲线C的左、右两支相交于两点A,B,知λ>0且λ≠1.由A,P,B,Q四点共线,知.由此能够证明点Q(x,y)总在定直线x-y-1=0上. 解法4:设点Q,A,B的坐标分别为(x,y),(x1,y1),(x2,y2),由题设知|AP|,|PB|,|AQ|,|QB|均不为零,记.由过点P的直线l与双曲线C的左、右两支分别相交于两点A、B,知λ>0且λ≠1.由A,P,B,Q四点共线,设,则λ1+λ2=0.由此能够证明点Q(x,y)总在定直线x-y-1=0上. 【解析】 (1)∵双曲线(a>0,b>0)的离心率为, ∴.即a2=3b2.                      ① ∵MF1⊥MF2,且△MF1F2的面积为1. ∴,即|MF1||MF2|=2. ∵||MF1|-|MF2||=2a, ∴|MF1|2-2|MF1||MF2|+|MF2|2=4a2. ∴|F1F2|2-4=4a2. ∴4(a2+b2)-4=4a2,∴b2=1.                     ② 将②代入①,得a2=3. ∴双曲线C的方程为. (2)解法1:设点Q,A,B的坐标分别为(x,y),(x1,y1),(x2,y2),且x1<x2<3,又设直线l的倾斜角为θ,分别过点P,Q,A,B作x轴的垂线,垂足分别为P1,Q1,A1,B1, 则 ,,,, ∵|AP|•|QB|=|AQ|•|PB|, ∴(3-x1)(x2-x)=(x-x1)(3-x2), 即[6-(x1+x2)]x=3(x1+x2)-2x1x2.③ 设直线l的方程为y-1=k(x-3),④ 将④代入=1中整理,得 (1-3k2)x2-6k(1-3k)x-3[(1-3k)2+1]=0. 依题意x1,x2是上述方程的两个根,且1-3k2≠0, ∴⑤ 将⑤代入③整理,得x-2=k(x-3).⑥ 由④、⑥消去k得x-2=y-1,这就是点Q所在的直线方程. ∴点Q(x,y)总在定直线x-y-1=0上. 解法2:设点Q,A,B的坐标分别为(x,y),(x1,y1),(x2,y2),且x1<x2<3, ∵|AP|•|QB|=|AQ|•|PB|, ∴,即, 即[6-(x1+x2)]x=3(x1+x2)-2x1x2. 以下同解法1. 解法3:设点Q,A,B的坐标分别为(x,y),(x1,y1),(x2,y2), 由题设知|AP|,|PB|,|AQ|,|QB|均不为零,记 PBAQxy. ∵过点P的直线l与双曲线C的左、右两支 相交于两点A,B, ∴λ>0且λ≠1. ∵A,P,B,Q四点共线, ∴. 即 ∴③ 由③消去λ,得[6-(x1+x2)]x=3(x1+x2)-2x1x2. 以下同解法1. 解法4:设点Q,A,B的坐标分别为(x,y),(x1,y1),(x2,y2), 由题设知|AP|,|PB|,|AQ|,|QB|均不为零,记. ∵过点P的直线l与双曲线C的左、右两支分别相交于两点A、B, ∴λ>0且λ≠1. ∵A,P,B,Q四点共线, 设,则λ1+λ2=0. 即 ∴ ∵点A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线C上, ∴,其中i=1,2. ∴λ1,λ2是方程的两个根. 即λ1,λ2是方程(x2-3y2-3)λ2+6(x-y-1)λ+3=0的两个根. ∵λ1+λ2=0,且x2-3y2-3≠0, ∴,即x-y-1=0. ∴点Q(x,y)总在定直线x-y-1=0上.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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