Question

一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形．
（Ⅰ）请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；
（Ⅱ）用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁？试画出图形；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的情形下，设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱CC₁的中点为E，求平面AB₁E与平面ABCD所成二面角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）直接画出该几何体的直观图如图1所示，然后求出所求体积．
（Ⅱ）结合体积关系，说明用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体，
其拼法如图2所示．通过  故所拼图形成立．
（Ⅲ）设B1E，BC的延长线交于点G，连接GA，在底面ABC内作BH⊥AG，垂足为H，连接HB1，说明∠B1HB为平面AB1E与平面ABC所成二面角或其补角的平面角．在Rt△ABG中，求解平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值．
【解析】
（Ⅰ）该几何体的直观图如图1所示，它是有一条
侧棱垂直于底面的四棱锥．其中底面ABCD是边长为6的
正方形，高为CC1=6，故所求体积是  …（4分）
（Ⅱ）依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍，
故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体，
其拼法如图2所示．
证明：∵面ABCD、面ABB1A1、面AA1D1D为全等的
正方形，于是  故所拼图形成立．…（4分）
（Ⅲ）设B1E，BC的延长线交于点G，
连接GA，在底面ABC内作BH⊥AG，垂足为H，
连接HB1，则B1H⊥AG，故∠B1HB为平面AB1E与
平面ABC所成二面角或其补角的平面角．
在Rt△ABG中，，
则，
，
，
故平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为．…（4分）