Question

已知直线的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点．
（1）若抛物线的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程；
（2）对于（1）中的椭圆C，若直线L交y轴于点M，且，当m变化时，求λ₁+λ₂的值．

Answer

（1）根据抛物线的焦点为（0，），且为椭圆C的上顶点，可得b2=3，又F（1，0），可得c=1，从而可得a2=b2+c2=4，故可求椭圆C的方程；
（2）l与y轴交于，设A（x1，y1），B（x2，y2），则由可得：（3m2+4）y2+6my-9=0，故△=144（m2+1）＞0，利用韦达定理可得，根据，可得，同理，从而可求λ1+λ2的值．
【解析】
（1）抛物线的焦点为（0，），且为椭圆C的上顶点
∴，∴b2=3，
又F（1，0），∴c=1，a2=b2+c2=4．
∴椭圆C的方程为．
（2）l与y轴交于，设A（x1，y1），B（x2，y2），则
由可得：（3m2+4）y2+6my-9=0，故△=144（m2+1）＞0．
∴，
∴．
又由，得．
∴．
同理．
∴．