Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若a+c=4，求AC边上中线长的最小值．

Answer

（Ⅰ）由已知，2bcosB=ccosA+acosC，利用正弦定理，将边b，c，a代换成sinB sinC sinA，再利用两角和正弦公式求B
（Ⅱ）设AC边上的中点为E，利用三边a，b，c用余弦等量将中线BE表示出来，再用基本不等式求最小值．
【解析】
（Ⅰ）由题意得：2bcosB=ccosA+acosC，
2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC，
2sinBcosB=sinB，
．
（Ⅱ）如图：设AC边上的中点为E，
在△BAE中，由余弦定理得：，
又，a2+c2-b2=ac代入上式，并整理得
BE2=
=，当a=c=2时取到”=”
所以AC边上中线长的最小值为．