Question

（不等式选讲）已知函数f（x）=log₂（|x+1|+|x-2|-m）．
（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；
（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．

Answer

（1）由题设知：|x+1|+|x-2|＞7，解此绝对值不等式求得函数f（x）的定义域．
（2）由题意可得，不等式即|x+1|+|x-2|≥m+4，由于x∈R时，恒有|x+1|+|x-2|≥3，故m+4≤3，由此求得m的取值范围．
【解析】
（1）由题设知：|x+1|+|x-2|＞7，
不等式的解集是以下不等式组解集的并集：，或，或
解得函数f（x）的定义域为（-∞，-3）∪（4，+∞）；
（2）不等式f（x）≥2即|x+1|+|x-2|≥m+4，
∵x∈R时，恒有|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，
不等式|x+1|+|x-2|≥m+4解集是R，
∴m+4≤3，m的取值范围是（-∞，-1]．