Question

如图，矩形AMND所在的平面与直角梯形MBCN所在的平面互相垂直，MB∥NC，MN⊥MB，且MC⊥CB，BC=2，MB=4，DN=3．
（Ⅰ）求证：AB∥平面DNC；
（Ⅱ）求二面角D-BC-N的余弦值．

Answer

（I）由线面平行判定定理，可分别证出MB∥平面DNC且MA∥平面DNC，结合面面平行判定定理，得到平面AMB∥平面DNC，结合AB⊂平面AMB可得AB∥平面DNC；
（II）根据面面垂直的性质定理，证出DN⊥平面MBCN，从而得到NM、NC、ND两两互相垂直，因此以点N为坐标原点，建立空间直角坐标系如图．分别得到B、C、D的坐标，从而得到向量、的坐标，利用垂直向量数量积为零建立方程组，解出平面DBC的法向量=（-1，，），结合=（0，0，1）是平面NBC的一个法向量，运用空间向量的夹角公式算出、夹角的余弦值为，即得二面角D-BC-N的余弦值．
【解析】
（I）∵MB∥NC，MB⊄平面DNC，NC⊂平面DNC，∴MB∥平面DNC．
∵四边形AMND为矩形，∴MA∥DN．
又∵MA⊄平面DNC，DN⊂平面DNC，∴MA∥平面DNC．
∵MA、MB是平面AMB内的相交直线，
∴平面AMB∥平面DNC．
又∵AB⊂平面AMB，∴AB∥平面DNC．    …（5分）
（Ⅱ）∵平面AMND⊥平面MBCN，且平面AMND⊥平面MBCN=MN，DN⊥MN，
∴DN⊥平面MBCN，
而MN⊥NC，故以点N为坐标原点，NM、NC、ND分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图．
由已知得MC=，∠MCN=30°，易得MN=，NC=3．
则D（0，0，3），C（0，3，0），B（，4，0）．
∴=（0，3，-3），=（，1，0）．
设平面DBC的法向量=（x，y，z），则
，即
令x=-1，则y=z=，可得=（-1，，）．
又∵=（0，0，1）是平面NBC的一个法向量，
∴cos＜，＞==．
故所求二面角D-BC-N的余弦值为．…（12分）