Question

已知抛物线y²=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．
（Ⅰ）若，求直线AB的斜率；
（Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．

Answer

（Ⅰ）依题意F（1，0），设直线AB方程为x=my+1．将直线AB的方程与抛物线的方程联立，得y2-4my-4=0．由此能够求出直线AB的斜率．
（Ⅱ）由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB．由此能求出四边形OACB的面积最小值．
（本小题满分13分）
（Ⅰ）【解析】
依题意F（1，0），设直线AB方程为x=my+1．            …（1分）
将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2-4my-4=0． …（3分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），所以 y1+y2=4m，y1y2=-4． ①…（4分）
因为 ，
所以 y1=-2y2．    ②…（5分）
联立①和②，消去y1，y2，得． …（6分）
所以直线AB的斜率是．     …（7分）
（Ⅱ）【解析】
由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，
从而点O与点C到直线AB的距离相等，
所以四边形OACB的面积等于2S△AOB．                     …（9分）
因为 …（10分）
=，…（12分）
所以 m=0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4．      …（13分）