Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱CC₁的中点，F是侧面BCC₁B₁内的动点，且A₁F∥平面D₁AE，则A₁F与平面BCC₁B₁所成角的正切值构成的集合是（ ）

A．{t|}
B．{t|≤t≤2}
C．{t|2}
D．{t|2}

Answer

设平面AD1E与直线BC交于点G，连接AG、EG，则G为BC的中点．分别取B1B、B1C1的中点M、N，连接AM、MN、AN，可证出平面A1MN∥平面D1AE，从而得到A1F是平面A1MN内的直线．由此将点F在线段MN上运动并加以观察，即可得到A1F与平面BCC1B1所成角取最大值、最小值的位置，由此不难得到A1F与平面BCC1B1所成角的正切取值范围．
【解析】
设平面AD1E与直线BC交于点G，连接AG、EG，则G为BC的中点
分别取B1B、B1C1的中点M、N，连接AM、MN、AN，则
∵A1M∥D1E，A1M⊄平面D1AE，D1E⊂平面D1AE，
∴A1M∥平面D1AE．同理可得MN∥平面D1AE，
∵A1M、MN是平面A1MN内的相交直线
∴平面A1MN∥平面D1AE，
由此结合A1F∥平面D1AE，可得直线A1F⊂平面A1MN，即点F是线段MN上上的动点．
设直线A1F与平面BCC1B1所成角为θ
运动点F并加以观察，可得
当F与M（或N）重合时，A1F与平面BCC1B1所成角等于∠A1MB1，此时所成角θ达到最小值，满足tanθ==2；
当F与MN中点重合时，A1F与平面BCC1B1所成角达到最大值，满足tanθ==2
∴A1F与平面BCC1B1所成角的正切取值范围为[2，2]
故选：D