Question

某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数ξ依次为1，2，…，8，其中ξ≥5为标准A，ξ≥3为标准B，产品的等级系数越大表明产品的质量越好，已知某厂执行标准B生产该产品，且该厂的产品都符合相应的执行标准．
（1）从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3   5   3   3   8   5   5   6   3   4
6   3   4   7   5   3   4   8   5   3
8   3   4   3   4   4   7   5   6   7
该行业规定产品的等级系数ξ≥7的为一等品，等级系数5≤ξ＜7的为二等品，等级系数3≤ξ＜5的为三等品，试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；
（2）已知该厂生产一件该产品的利润y（单位：元）与产品的等级系数ξ的关系式为：，从该厂生产的产品中任取一件，其利润记为X，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求X的分布列和数学期望．

Answer

（1）由样本数据，结合行业规定，确定一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件，即可估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；
（2）确定X的可能取值为：1，2，4，用样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得X的分布列，从而可求数学期望．
【解析】
（1）由样本数据知，30件产品中等级系数ξ≥7有6件，即一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件-----------------------------------------------------------（3分）
∴样本中一等品的频率为，故估计该厂生产的产品的一等品率为0.2--------（4分）
二等品的频率为，故估计该厂生产的产品的二等品率为0.3；--------------（5分）
三等品的频率为，故估计该厂生产的产品的三等品的频率为0.5．----------（6分）
（2）∵X的可能取值为：1，2，4
用样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，由（1）
可得P（X=1）=0.5，P（X=2）=0.3，P（X=4）=0.2--（8分）
∴可得X的分布列如下：----------------------------------------------------（10分）

X 1 2 4
P（X） 0.5 0.3 0.2

其数学期望EX=1×0.5+2×0.3+4×0.2=1.9（元）-----------------------------（12分）