Question

在平面直角坐标系中，由x轴的正半轴、y轴的正半轴、曲线y=e^x以及该曲线在x=a（a≥1）处的切线所围成图形的面积是（ ）
A．e^a
B．e^a-1
C．e^a
D．e^a-1

Answer

根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=a处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，然后求出与坐标轴的交点坐标，最后利用所围成图形的面积等于曲边梯形ODBC的面积减去△ADB的面积，利用定积分求出曲边梯形ODBC的面积，即可求出所求．
【解析】
∵y=ex，∴y′=ex，故曲线y=ex在x=a处的斜率为ea，切线方程为y-ea=ea（x-a），
令y=0得x=a-1≥0．如图所示，点A（a-1，0），D（a，0），，B（a，ea），两坐标轴的正半轴，
曲线y=ex以及该曲线在x=a（a≥1）处的切线所围成图形的面积等于曲边形ODBC的面积减去△ADB的面积，
曲边形ODBC的面积为∫aexdx=ea-1，△ADB的面积为|AD|．|DB|=×[a-（a-1）]ea=ea，
故所求的面积为ea-1-ea=ea-1．
故选D