Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁=CA=2，AB=BC，D是BC₁上一点，且CD⊥平面ABC₁．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求二面角C-AC₁-B的平面角的正弦值．

Answer

（Ⅰ）利用直三棱柱的性质、线面垂直的判定和性质定理即可证明；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，三垂线定理、三角形的面积公式、二面角的定义即可得出．
【解析】
（Ⅰ）∵CC1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴CC1⊥AB．
又∵CD⊥平面ABC1，且AB⊂平面ABC1，∴CD⊥AB，
又CC1∩CD=C，∴AB⊥平面BCC1B1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：AB⊥平面BCC1B1．∴AB⊥BC．
在Rt△ABC中，AB=BC，AC=2，∴BC=．
过点D作DE⊥AC1于E，连接CE，由三垂线定理知CE⊥AC1，故∠DEC是二面角C-AC1-B的平面角．
又AC=CC1，∴E为AC1的中点，∴，
又．
由，得．
在Rt△CDE中，sin．