Question

已知函数f（x）=（2x²-kx+k）•e^-x．
（1）当k为何值时，f（x）无极值；
（2）试确定实数k的值，使f（x）的极小值为0．

Answer

对函数求导整理可得，
（1）f（x）无极值⇔函数没有单调性的改变⇔f′（x）≤0恒成立，从而可求k
（2）由（1）可得k≠4，分k＞4，k＜4讨论函数的单调性，进而求出函数的极小值，使其满足为0，从而可求k
【解析】
（1）∵f′（x）=（4x-k）e-x-（2x2-kx+k）e-x
=[-2x2+（k+4）x-2k]e-x=
∴k=4时，f′（x）=-2（x-2）2e-x≤0，此时，f（x）无极值．（5分）
（2）当k≠4时，由f′（x）=0得x=2或．
当x变化时，f′（x）、f（x）的变化如下表：
①当k＜4，即时

②当k＞4，即时

∴k＜4时，由得，
∴k=0k＞4时，由f（2）=0得8-k=0，∴k=8
综上所述，k=0或8时，f（x）有极小值0．（12分）