Question

已知椭圆E：（a，b＞0）与双曲线G：x²-y²=4，若椭圆E的顶点恰为双曲线G的焦点，椭圆E的焦点恰为双曲线G的顶点．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）是否存在一个以原点为圆心的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且？若存在请求出该圆的方程，若不存在请说明理由．

Answer

（1）利用椭圆、双曲线的标准方程与性质即可得出；
（2）假设存在一个以原点O为圆心的圆x2+y2=r2满足条件，利用直线与椭圆相交得到根与系数的关系，再利用直线与圆相切的性质及垂直与数量积的关系即可得出．
【解析】
（1）由双曲线G：x2-y2=4，得焦点，顶点（±2，0）．
∵椭圆E的顶点恰为双曲线G的焦点，∴=8，c2=22=4，∴b2=8-4=4．
∴椭圆E的方程为；
（2）假设存在一个以原点O为圆心的圆x2+y2=r2，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且．
当切线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+t，与椭圆的两个交点A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立，消去y得到关于x的方程（1+2k2）x2+4ktx+2t2-8=0，
必须满足△=16k2t2-4（1+2k2）（2t2-8）＞0，即8k2+4＞t2（*）．
∴x1+x2=，．（**）
∵直线l与圆x2+y2=r2，∴，化为t2=r2（1+k2）．①
∵，∴x1x2+y1y2=0．
又y1=kx1+t，y2=kx2+t．
代入上式得，
把（**）代入上式得，
化为3t2=8（k2+1），②满足（*）式．
由①②可得．
因此此时存在满足条件的圆为．
当切线l的斜率不存在时，也满足上述方程．
综上可知：存在一个以原点O为圆心的圆x2+y2=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且．