Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=5，点D是AB的中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥BC₁；
（Ⅱ）求三棱锥C₁-CDB₁的体积．

Answer

（Ⅰ）由题目给出的三棱柱的底面边长可证得AC⊥BC，再根据给出的三棱柱为直三棱柱，有AC⊥CC1，利用线面垂直的判定可以证明AC⊥面BB1C1C，从而得到要证的结论；
（Ⅱ）要求三棱锥C1-CDB1的体积，可以转化为求三棱锥D-B1C1C的体积，而三棱锥D-B1C1C的高即为AC长度的一半，所以结论可求．
（Ⅰ）证明：如图，

∵直三棱柱ABC-A1B1C1的底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，
AB2=25，AC2=9，BC2=16，∴AB2=AC2+BC2，
∴AC⊥BC，∵CC1⊥面ABC，AC⊂平面ABC，
∴AC⊥CC1，又BC∩CC1=C，
∴AC⊥平面BCC1B1，又BC1⊂平面BCC1B1，
∴AC⊥BC1；
（Ⅱ）由（1）可知AC⊥平面BCC1B1，∵点D是AB的中点，
∴D到平面CC1B1B的距离为，
∴==．