Question

已知椭圆的焦点为，，离心率为e，已知，e，成等比数列；
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知P为椭圆上一点，求最大值．

Answer

（1）由，e，成等比数列可求得e，而c=2，从而可求得a，继而可得椭圆的标准方程；
（2）设点P的坐标为（x，y），可求得•=x2+y2-8，结合（1）中椭圆的标准方程即可求得，•的最大值．
【解析】
（1）∵，e，成等比数列，
∴e2=×=，
∴e=；…（2分）
∵一个焦点F1（0，-2），
∴c=2，则a=3，
∴b2=9-8=1，
∴椭圆的标准方程：x2+=1；                       …（6分）
（2）设点P的坐标为（x，y），则=（-x，-2-y），=（-x，2-y），
∴•=（-x，-2-y）•（-x，2-y）
=x2+y2-8…（8分）
∵P为椭圆上一点，由（Ⅰ）知x2+=1；
∴x2=1-，
∴•=x2+y2-8=-7…（10分）
∴当y=3时，•取得最大值1．…（12分）