Question

已知函数，a∈R．
（Ⅰ）当a≥0时，求函数f（x）的单调区间和极小值；
（Ⅱ）若函数f（x）≥0对定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）当a≥0时，在定义域内解不等式f'（x）＜0，f'（x）＞0即可；
（Ⅱ）函数f（x）≥0对定义域内的任意x恒成立，等价于f（x）min≥0，易分析a＜0时不合题意，a≥0时由（1）知f（x）的最小值；
解析：（Ⅰ）由题意知函数的定义域为（0，+∞），
且，
当a≥0时，若0＜x＜2，f'（x）＜0，若x＞2，f'（x）＞0，
故此时函数f（x）的单调递减区间是（0，2），单调递增区间是（2，+∞）．
f（x）在x=2处取得极小值f（2）=-2+2a（1-ln2）；
（Ⅱ）当a＜0时，f（2）=2+2a-4-2aln2=-2+2a（1-ln2）＜0，
故对f（x）≥0不恒成立．
当a≥0时，由（1）知，f（x）在x=2处取得最小值f（2）=-2+2a（1-ln2），
此时f（2）=-2+2a（1-ln2）≥0，解得，
综上所述a的取值范围是．