Question

在正四棱锥V-ABCD中，P，Q分别为棱VB，VD的中点，点 M 在边 BC 上，且 BM：BC=1：3，AB=2，VA=6．
（I ）求证CQ丄AP；
（II）求二面角B-AP-M的余弦值．

Answer

（I）设正方形ABCD的中心为O，N为AB的中点，R为BC的中点，分别以ON、OR、OV所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，分别算出V、A、B、C、D、M、P、Q各点的坐标，从而得到向量和的坐标，通过计算得到•=0，从而得到⊥，即可证出CQ丄AP；
（II）由（I）所建立的坐标系，算出=（0，2，0），=（-，2，0），利用垂直向量数量积为0的方法算出平面BAP的法向量为=（，0，1），同理得到平面APM的法向量为=（3，1，0），最后运用空间向量的夹角公式加以计算，得到、的夹角余弦，即为二面角B-AP-M的余弦值．
【解析】
设正方形ABCD的中心为O，N为AB的中点，R为BC的中点，分别以ON、OR、OV所在直线为x轴、y轴、z轴，
如图建立空间直角坐标系，
在Rt△VOB中，可得OV=，
则V（0，0，），A（，-，0），B（，，0），C（-，，0）
D（-，-，0），M（，，0），P（，，），
Q（-，-，）．
于是=（-，，），=（0，2，0），
=（-，2，0），=（，-，）．
（Ⅰ）∵•=-×+×（-）+×=0，
∴⊥，即CQ丄AP；                              …（6分）
（Ⅱ）设平面BAP的法向量为=（a，b，c），
由，得，取a=，得=（，0，1），
同理可得平面APM的法向量为=（3，1，0），
设二面角B-AP-M的平面角为θ，则cosθ==．        …（12分）