Question

已知点F（ 1，0），⊙F与直线4x+3y+1=0相切，动圆M与⊙F及y轴都相切．
（I ）求点M的轨迹C的方程；
（II）过点F任作直线l，交曲线C于A，B两点，由点A，B分别向⊙F各引一条切线，切点 分别为P，Q，记α=∠PAF，β=∠QBF．求证sinα+sinβ是定值．

Answer

（Ⅰ）利用点到直线的距离公式及切线的性质、圆的标准方程即可得到⊙F的方程；动圆M与⊙F及y轴都相切分切点不是原点、切点是原点两种情况分别求出即可：
（Ⅱ）对直线l的斜率分存在和不存在两种情况：把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及抛物线的定义即可得出．
【解析】
（Ⅰ）⊙F的半径r=1，∴⊙F的方程为（x-1）2+y2=1，
由题意动圆M与⊙F及y轴都相切，分以下情况：
（1）动圆M与⊙F及y轴都相切，但切点不是原点的情况：
作MH⊥y轴于H，则|MF|-1=|MH|，即|MF|=|MH|+1，
过M作直线x=-1的垂线MN，N为垂足，
则|MF|=|MN|，
∴点M的轨迹是以F为焦点，x=-1为准线的抛物线，
∴点M的轨迹C的方程为y2=4x（x≠0）；
（2）动圆M与⊙F及y轴都相切且仅切于原点的情况：
此时点M的轨迹C的方程为y=0（x≠0，1）；             
（Ⅱ）对于（Ⅰ）中（1）的情况：
当l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y=k（x-1），
由得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，x1x2=1，
∴sinα+sinβ====1．
当l与x轴垂直时，也可得sinα+sinβ=1，
对于（Ⅰ）中（2）的情况不符合题意（即作直线l，交C于一个点或无数个点，而非两个交点）．
综上，有sinα+sinβ=1．