Question

选修4-4：坐标系与参数方程
将圆x²+y²=4上各点的纵坐标压缩至原来的，所得曲线记作C；将直线3x-2y-8=0绕原点逆时针旋转90°所得直线记作l．
（I）求直线l与曲线C的方程；
（II）求C上的点到直线l的最大距离．

Answer

（I）设曲线C上任一点为（x，y），则（x，2y）在圆x2+y2=4上，代入即可求得曲线C的方程，写出直线3x-2y-8=0的极坐标方程，记作l，设直线l上任一点为（ρ，θ），则点（ρ，θ-90°）在l上，代入化简，再转化为普通方程即可；
（II）设曲线C上任一点为M（2cosψ，sinψ），到直线l的距离为d=，利用三角知识化为即可求得其最大值；
（Ⅰ）设曲线C上任一点为（x，y），则（x，2y）在圆x2+y2=4上，
于是x2+（2y）2=4，即．
直线3x-2y-8=0的极坐标方程为3ρcosθ-2ρsinθ-8=0，将其记作l，
设直线l上任一点为（ρ，θ），则点（ρ，θ-90°）在l上，
于是3ρcos（θ-90°）-2ρsin（θ-90°）-8=0，即：3ρsinθ+2ρcosθ-8=0，
故直线l的方程为2x+3y-8=0；
（Ⅱ）设曲线C上任一点为M（2cosψ，sinψ），
它到直线l的距离为d==，
其中ψ满足：cosψ=，sinψ=．
∴当ψ-ψ=π时，dmax=．