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设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.点P(a,b)满足|PF...

设椭圆manfen5.com 满分网+manfen5.com 满分网=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.点P(a,b)满足|PF2|=|F1F2|.
(Ⅰ)求椭圆的离心率e;
(Ⅱ)设直线PF2与椭圆相交于A,B两点,若直线PF2与圆(x+1)2+manfen5.com 满分网=16相交于M,N两点,且|MN|=manfen5.com 满分网|AB|,求椭圆的方程.
(Ⅰ)直接利用|PF2|=|F1F2|,对应的方程整理后即可求椭圆的离心率e; (Ⅱ)先把直线PF2与椭圆方程联立求出A,B两点的坐标以及对应的|AB|两点,进而求出|MN|,再利用弦心距,弦长以及圆心到直线的距离之间的等量关系,即可求椭圆的方程. 【解析】 (Ⅰ)设F1(-c,0),F2(c,0)    (c>0). 由题得|PF2|=|F1F2|,即=2c,整理得2+-1=0,得=-1(舍),或=, 所以e=. (Ⅱ)由(Ⅰ)知a=2c,b=c,可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2,直线方程PF2为y=(x-c). A,B的坐标满足方程组, 消y并整理得5x2-8xc=0, 解得x=0,x=,得方程组的解为,, 不妨设A(c,c),B(0,-c). 所以|AB|==c,于是|MN|=|AB|=2c. 圆心(-1,)到直线PF2的距离d=, 因为d2+=42,所以(2+c)2+c2=16,整理得c=-(舍)或c=2. 所以椭圆方程为+=1.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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