Question

已知函数，b∈N^*），满足f（2）=2，f（3）＞2．
（1）求k，b的值；
（2）若各项为正的数列{a_n}的前n项和为S_n，且有，设，求数列{n•b_n}的前n项和T_n；
（3）在（2）的条件下，证明：ln（1+b_n）＜b_n．

Answer

（1）由f（2）=2，f（3）＞2消掉b得k的不等式，再由k∈N*即可求得k值，从而求得b值；
（2）由可得．n≥2时，．③-④整理可判断{an}是首项为1，公差为1的等差数列，由此可求得an，进而得bn，再用错位相减法即可求得Tn；
（3）即证ln（1+2n）＜2n，构造函数f（x）=ln（1+2x）-2x（x≥1且x∈R），转化为f（x）max＜0，利用导数即可求得最大值．
【解析】
（1）由 ，
由①代入②可得，且k∈N*．
当k=2时，b=2（成立），当k=1时，b=0（舍去）．
所以k=2，b=2．
（2），即．
n≥2时，．
所以，当n≥2时，由③-④可得，
整理得，（an+an-1）（an-an-1-1）=0．
又∵an＞0得an-an-1=1，且a1=1，
所以{an}是首项为1，公差为1的等差数列，即an=n，
．∴．
，
，
由上两式相减得  =．
∴．
（3）由（2）知，只需证ln（1+2n）＜2n．
设f（x）=ln（1+2x）-2x（x≥1且x∈R）．
则，
可知f（x）在[1，+∞）上递减，∴f（x）max=f（1）=ln3-2＜0．
由x∈N*，则f（n）≤f（1）＜0，
故ln（1+bn）＜bn．