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已知函数,b∈N*),满足f(2)=2,f(3)>2. (1)求k,b的值; (...

已知函数manfen5.com 满分网,b∈N*),满足f(2)=2,f(3)>2.
(1)求k,b的值;
(2)若各项为正的数列{an}的前n项和为Sn,且有manfen5.com 满分网,设manfen5.com 满分网,求数列{n•bn}的前n项和Tn
(3)在(2)的条件下,证明:ln(1+bn)<bn
(1)由f(2)=2,f(3)>2消掉b得k的不等式,再由k∈N*即可求得k值,从而求得b值; (2)由可得.n≥2时,.③-④整理可判断{an}是首项为1,公差为1的等差数列,由此可求得an,进而得bn,再用错位相减法即可求得Tn; (3)即证ln(1+2n)<2n,构造函数f(x)=ln(1+2x)-2x(x≥1且x∈R),转化为f(x)max<0,利用导数即可求得最大值. 【解析】 (1)由 , 由①代入②可得,且k∈N*. 当k=2时,b=2(成立),当k=1时,b=0(舍去). 所以k=2,b=2. (2),即. n≥2时,. 所以,当n≥2时,由③-④可得, 整理得,(an+an-1)(an-an-1-1)=0. 又∵an>0得an-an-1=1,且a1=1, 所以{an}是首项为1,公差为1的等差数列,即an=n, .∴. , , 由上两式相减得  =. ∴. (3)由(2)知,只需证ln(1+2n)<2n. 设f(x)=ln(1+2x)-2x(x≥1且x∈R). 则, 可知f(x)在[1,+∞)上递减,∴f(x)max=f(1)=ln3-2<0. 由x∈N*,则f(n)≤f(1)<0, 故ln(1+bn)<bn.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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