Question

设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x²+bx+c=0实根的个数（重根按一个计）．
（Ⅰ）求方程x²+bx+c=0有实根的概率；
（Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望；

Answer

（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件根据分步计数原理知是36，满足条件的事件是方程x2+bx+c=0有实根包括有一个实根，有两个实根，这两种结果是互斥的，根据互斥事件的概率公式得到结果．
（2）由题意知实根的个数只有三种结果，0、1、2，根据上一问的计算可以写出当变量取值时对应的概率，写出分布列，算出期望．
【解析】
（Ⅰ）由题意知：设基本事件空间为Ω，
记“方程x2+bx+c=0没有实根”为事件A，
“方程x2+bx+c=0有且仅有一个实根”为事件B，
“方程x2+bx+c=0有两个相异实数”为事件C
则Ω={（b，c）|b，c=1，2，3，4，5，6}
Ω是的基本事件总数为36个，
A={（b，c）|b2-4c＜0，b，c=1，2，3，4，5，6}，A中的基本事件总数为17个；
B={（b，c）|b2-4c=0，b，c=1，2，3，4，5，6}，B中的基本事件总数为2个；
C={（b，c）|b2-4c＞0，b，c=1，2，3，4，5，6}，C中的基本事件总数为17个；
又因为B，C是互斥事件，
∴所求概率P=P（B）+P（C）==．
（Ⅱ）由题意，ξ的可能取值为0，1，2，则
P（ξ=0）=，
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
∴ξ的分布列为：

∴ξ的数学期望Eξ=0×=1