Question

已知函数f（x）=alnx-（x-1）²-ax（常数a∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设a＞0．如果对于f（x）的图象上两点P₁（x₁，f（x₁）），P₂（x₂，f（x₂））（x₁＜x₂），存在x∈（x₁，x₂），使得f（x）的图象在x=x处的切线m∥P₁P₂，求证：．

Answer

（Ⅰ）已知函数f（x）=alnx-（x-1）2-ax（常数a∈R），对其进行求导，根据a的范围进行分类讨论，求出f（x）的单调区间；
（Ⅱ）已知f（x）的图象在x=x处的切线m∥P1P2，把x代入f′（x），再求出f（），要证，只要证即可；
【解析】
（ I）f（x）的定义域为（0，+∞），
（2分）
①a≥0时，f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）
②-2＜a＜0时，f（x）的增区间为（-，1），减区间为（0，-），（1，+∞）
③a=-2时，f（x）减区间为（0+∞）
④a＜-2时，f（x）的增区间为（1，-），减区间为（0，1），（-，+∞）
（ II）由题意=-（x1+x2-2）-a
又：．（9分）
f′（x）=（a＞0）在，（0，+∞）上为减函数
要证，只要证
即，即证（13分）
令，
∴g（t）在（1，+∞）为增函数，
∴g（t）＞g（1）=0，
∴lnt＞，即
∴x＜证（15分）