Question

选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线为参数），为参数）．
（1）化C₁，C₂的方程为普通方程
（2）若C₁上的点P对应的参数为t=，Q为C₂上的动点，求PQ中点M到直线参数）距离的最小值．

Answer

（1）分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程，即可得到曲线C1表示一个圆；曲线C2表示一个椭圆；
（2）把t的值代入曲线C1的参数方程得点P的坐标，然后把直线的参数方程化为普通方程，根据曲线C2的参数方程设出Q的坐标，利用中点坐标公式表示出M的坐标，利用点到直线的距离公式表示出M到已知直线的距离，利用两角差的正弦函数公式化简后，利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值．
【解析】
（1）把曲为参数）化为普通方程得：（x+4）2+（y+3）2=1，
所以此曲线表示的曲线为圆心（-4，-3），半径1的圆；
为参数），化为普通方程得：=1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴为8，短半轴为3的椭圆；
（2）把t=代入到曲线C1的参数方程得：P（-4，-2），
把直线参数）化为普通方程得：x-2y-7=0，
设Q的坐标为Q（8cosθ，3sinθ），故M（-2+4cosθ，-1+sinθ）
所以M到直线的距离d==，（其中sinα=，cosα=）
从而当cosθ=，sinθ=-时，d取得最小值．