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如图,AB是圆O的直径,C是圆O上除A、B外的一点,△AED在平面ABC的投影恰...

如图,AB是圆O的直径,C是圆O上除A、B外的一点,△AED在平面ABC的投影恰好是△ABC.已知CD=BE,AB=4,manfen5.com 满分网
(1)证明:平面ADE⊥平面ACD;
(2)当三棱锥C-ADE体积最大时,求三棱锥C-ADE的高.

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(1)要证两个面相互垂直,可证平面ADE经过平面ACD的一条垂线DE,根据,△AED在平面ABC的投影恰好是△ABC,说明CD和BE都垂直于底面ABC,又CD=BE,可证DE∥BC,利用线面垂直的判定定理可证BC⊥面ACD,从而使问题得证; (2)把三棱锥C-ADE体积转化为三棱锥E-ACD的体积,写出体积公式后利用基本不等式求体积最大值,并且得到使体积最大时的多面体A-BEDC的确切形状,然后利用等积法可求三棱锥C-ADE的高. (1)证明:因为AB是直径,所以BC⊥AC,因为△ABC是△AED的投影,所以CD⊥平面ABC,则CD⊥BC, 因为CD∩AC=C,所以BC⊥平面ACD, 因为CD⊥平面ABC,BE⊥平面ABC,所以CD∥BE,又因为CD=BE,所以BCDE是平行四边形, ∴BC∥DE,则DE⊥平面ACD,因为DE⊂平面ADE,所以平面ADE⊥平面ACD; (2)在直角三角形AEB中,EB=AB•tan∠EAB=4×=1, 由(1)知 ===, 等号当且仅当时成立, 此时,, , 设三棱锥C-ADE的高为h, 则, ∴. ∴. 所以,当三棱锥C-ADE体积最大时,三棱锥C-ADE的高为.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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