Question

如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，且AB=BC=CA=，AD=CD=1．
（1）求证：BD⊥AA₁；
（2）若E为棱BC上的一点，且AE∥平面DCC₁D₁，求线段BE的长度．

Answer

（1）取AC的中点O，易证得B、O、D三点共线，进而BD⊥AC，由平面AA1C1C⊥平面ABCD，结合面面垂直的性质定理可得BD⊥平面AA1C1C，再由线面垂直的性质得到BD⊥AA1；
（2）由AE∥平面DCC1D1，结合线面平行的性质定理可得AE∥CD，结合已知及等边三角形三线合一，可得E为BC的中点，进而得到线段BE的长度．
证明：（1）取AC的中点O，连接DO，BO
由AD=CD，AB=BC可得
DO⊥AC，BO⊥AC，
故B、O、D三点共线
即BD⊥AC，
又∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD=AC，BD⊂平面ABCD
∴BD⊥平面AA1C1C
又∵AA1⊂平面AA1C1C
∴BD⊥AA1；
【解析】
（2）∵AB=BC=CA=，AD=CD=1
故∠DCA=∠DAC=30°，△ABC为等边三角形
∵AE∥平面DCC1D1，
AE⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面DCC1D1=CD
故AE∥CD，故∠CAE=30°
根据等边三角形三线合一，可得AE为△ABC中BC边上的中线
故BE=BC=