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已知函数f(x)=,x∈R (1)求函数f(x)的极大值和极小值; (2)已知x...

已知函数f(x)=manfen5.com 满分网,x∈R
(1)求函数f(x)的极大值和极小值;
(2)已知x∈R,求函数f(sinx)的最大值和最小值.
(3)若函数g(x)=f(x)+a的图象与x轴有且只有一个交点,求a的取值范围.
(1)由函数的解析式,求出导函数的值,进而分析函数的单调性和极值点,代入函数的解析式可得函数f(x)的极大值和极小值; (2)由正弦函数值域可得sinx∈[-1,1],结合(1)中函数的单调性分析函数f(x)在区间[-1,1]上的极值和端点的函数值,对照后可得答案. (3)若函数g(x)=f(x)+a的图象与x轴有且只有一个交点,故函数g(x)只有一个零点,即函数g(x)的极大值与极小值同号. 解;(1)∵f(x)=, ∴f′(x)=2x2-x-1, 令f′(x)=0,则x=-或x=1 由x<-或x>1时,f′(x)>0,此时函数为增函数; -<x<1时,f′(x)<0,此时函数为减函数; 故当x=-时,函数f(x)的极大值 当x=1时,函数f(x)的极小值 (2)令t=sinx,t∈[-1,1] 则f(sinx)=f(t)= 由(1)可得f(t)在[-1,-]上单调递增,在[-,1]上单调递减 又∵f(-1)=,f(-)=,f(1)= 故函数f(sinx)的最大值为,最小值为 (3)若函数g(x)=f(x)+a的图象与x轴有且只有一个交点, 则函数g(x)的极大值+a与极小值+a同号 即(+a)(+a)>0 解得a<-或a>-
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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