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如图,过圆O外一点M作它的一条切线,切点为A,过A作直线AP垂直直线OM,垂足为...

如图,过圆O外一点M作它的一条切线,切点为A,过A作直线AP垂直直线OM,垂足为P.
(1)证明:OM•OP=OA2
(2)N为线段AP上一点,直线NB垂直直线ON,且交圆O于B点.过B点的切线交直线ON于K.证明:∠OKM=90°.

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(1)在三角形OAM中考虑,因为MA是圆O的切线,所以OA⊥AM,从而由射影定理即得; (2)结合(1)问的结论,利用比例线段证明两个三角形△ONP、△OMK相似,通过对应角相等即可得. 证明:(1)因为MA是圆O的切线, 所以OA⊥AM,又因为AP⊥OM, 在Rt△OAM中,由射影定理知OA2=OM•OP, 故OM•OP=OA2得证. (2)因为BK是圆O的切线,BN⊥OK,同(1)有: OB2=ON•OK,又OB=OA, 所以OM•OP=ON•OK,即,又∠NOP=∠MOK, 所以△ONP~△OMK, 故∠OKM=∠OPN=90°. 即有:∠OKM=90°.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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